Ta có \(y = 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) và tiệm cận đứng là \(x = 1\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) lần lượt là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 - {x_1}\\b = {x_2} - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - a \Rightarrow {y_1} = 2 - \frac{1}{a}\\{x_2} = b + 1 \Rightarrow {y_2} = 2 + \frac{1}{b}\end{array} \right.\)
Ta có \(A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right] \ge 4ab.\frac{2}{{ab}} = 8.\)
Suy ra \(A{B_{\min }} = 2\sqrt 2 \).
