Toán 12 Tìm GTNN của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};5} \right]\).

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm GTNN của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};5} \right]\).
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - \frac{5}{2}\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = \frac{1}{5}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 3\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 2\)

\(y = x - 5 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = - 3;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{5}{2};y\left( 5 \right) = \frac{1}{5}\)
Vậy GTNN của hàm số bằng -3.