DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
Khi tìm \(\lim \frac{{f( n )}}{{g( n )}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f( n )}} - \sqrt[m]{{g( n )}}} \right]\) trong đó \(\lim f( n ) = \lim g( n ) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b
\end{array}$
Dùng định lí kẹp: Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$,∀ n và lim v$_n$ = 0 thì lim u$_n$ = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Vận dụng
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}$ và \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < \frac{1}{2}\). Chọn giá trị đúng của $\lim {u_n}$ trong các số sau:
A. 1/4.
B. 1/2.
C. 0.
D. 1.
Câu 2. Kết quả đúng của $\lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right)$ là:
A. 4.
B. 5.
C. –4.
D. 1/4.
Câu 3. Giá trị của. \(A = \lim \frac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1
Câu 4. Giá trị của. \(B = \lim \frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 4/9
D. 1
Câu 5. Kết quả đúng của \(\lim \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }}\) là
A. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
B. - 2/3.
C. - 1/2.
D. 1/2.
Câu 6. Giới hạn dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{3n - {n^4}}}{{4n - 5}}$ là:
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 3/4.
D. 0.
Câu 7. Chọn kết quả đúng của \(\lim \frac{{\sqrt {{n^3} - 2n + 5} }}{{3 + 5n}}\):
A. 5.
B. 2/5.
C. - ∞.
D. + ∞.
Câu 8. Giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1
Câu 9. Giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. \(\frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}\)
Câu 10. Giá trị của \(C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 16
D. 1
Câu 11. Giá trị của \(D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\)
D. 1
Câu 12. Giá trị của \(C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 13. Giá trị của. \(F = \lim \frac{{{{(n - 2)}^7}{{(2n + 1)}^3}}}{{{{({n^2} + 2)}^5}}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 8
D. 1
Câu 14. Giá trị của. \(C = \lim \frac{{{n^3} + 1}}{{n{{(2n + 1)}^2}}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 1
Câu 15. Giá trị của. \(D = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 16. Giá trị của. \(E = \lim \frac{{\sqrt {{n^3} + 2n} + 1}}{{n + 2}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 17. Giá trị của. \(F = \lim \frac{{\sqrt[4]{{{n^4} - 2n + 1}} + 2n}}{{\sqrt[3]{{3{n^3} + n}} - n}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{3}{{\sqrt[3]{3} - 1}}\)
D. 1
Câu 18. Cho dãy số\({u_n}\) với ${u_n} = \left( {n - 1} \right)\sqrt {\frac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} $. Chọn kết quả đúng của \(\lim {u_n}\) là:
A.- ∞.
B.0 .
C.1 .
D.+ ∞.
Câu 19. \(\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }}\) bằng :
A.+ ∞.
B.\(10\).
C.0.
D.- ∞.
Câu 20. Tính giới hạn: \(\lim \frac{{\sqrt {n + 1} - 4}}{{\sqrt {n + 1} + n}}\)
A.1.
B.0.
C.- 1
D.1/2.
Câu 21. Tính giới hạn:\(\lim \frac{{1 + 3 + 5 + .... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 4}}\)
A.0.
B.1/3.
C.2/3.
D.1.
Câu 22. Chọn kết quả đúng của \(\lim \sqrt {3 + \frac{{{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \).
A. 4.
B. 2.
C. 2.
D. 1/2.
Câu 23. Giá trị của \(D = \lim \frac{{{a_k}{n^k} + ... + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}{n^p} + ... + {b_1}n + {b_0}}}\)(Trong đó k,p là các số nguyên dương; \({a_k}{b_p} \ne 0\)).
bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Câu 24. Kết quả đúng của\(\lim \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}}\) là:
A. - 5/2.
B. - 1/50.
C. 5/2.
D. - 25/2.
Câu 25. \(\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}\) bằng:
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.
Câu 26. Giá trị của \(C = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/3
D. 1
Câu 27. Giá trị đúng của \(\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right)\) là:
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 2.
D. - 2.
Câu 28. Giá trị của. \(K = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}\) bằng:
A. - 1/3
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 29. \(\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}}\) bằng :
A.+ ∞.
B.1 .
C.0
D.- ∞.
Câu 30. \(\lim \sqrt[4]{{\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + 2}}}}}}\) bằng :
A.0 .
B.1/2.
C.1/4.
D.+ ∞.
Câu 31. Giá trị của. \(C = \lim \sqrt {\frac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} \) bằng:
A. + ∞
B. 1/2
C. 0
D. 1
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa \(\left| a \right| < 1;\left| b \right| < 1\). Tìm giới hạn\(I = \lim \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)
D. 1
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số \(A = \lim \frac{{{a_k}.{n^k} + {a_{k - 1}}{n^{k - 1}} + ... + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}.{n^p} + {b_{p - 1}}{n^{p - 1}} + ... + {b_1}n + {b_0}}}\) với \({a_k}{b_p} \ne 0\) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Câu 34. \(\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right)\) bằng:
A. + ∞.
B. 0.
C. - 2.
D. - ∞.
Câu 35. Giá trị của. \(M = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 36. Giá trị của. \(H = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Câu 37. Giá trị của \(B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 38. Giá trị đúng của \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right)\) là:
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.
Câu 39. Giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 40. Giá trị của \(B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 3
Câu 41. Giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Câu 42. Giá trị của. \(M = \lim \left( {\sqrt[3]{{1 - {n^2} - 8{n^3}}} + 2n} \right)\) bằng:
A. - 1/12
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 43. Giá trị của. \(N = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 44. Giá trị của. \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. \( - \frac{5}{{12}}\)
D. 1
Câu 45. Giá trị của. \(N = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 46. Giá trị đúng của \(\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} } \right)} \right]\) là:
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. + ∞.
Câu 47. Giá trị của. \(H = \lim n\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - \sqrt {4{n^2} + 3} } \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1
Câu 48. Giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 49. \(\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}}\) bằng :
A.0.
B.1.
C.+ ∞.
D.- ∞.
Câu 50. Giá trị của. \(A = \lim \frac{{2{n^3} + \sin 2n - 1}}{{{n^3} + 1}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 51. Giá trị của. \(B = {\rm{lim}}\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 52. Giá trị của. \(D = \lim \frac{{n + 1}}{{{n^2}(\sqrt {3{n^2} + 2} - \sqrt {3{n^2} - 1} )}}\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
D. 1
Câu 53. Giá trị của. \(E = \lim (\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2n)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 54. Giá trị của. \(F = \lim \left( {\sqrt {n + 1} + n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 55. Giá trị của. \(H = \lim (\sqrt[k]{{{n^2} + 1}} - \sqrt[p]{{{n^2} - 1}})\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\) :
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{{(n + 1)\sqrt {{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} }}{{3{n^3} + n + 2}}\) :
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{1}{9}\)
D. 1
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = (1 - \frac{1}{{{T_1}}})(1 - \frac{1}{{{T_2}}})...(1 - \frac{1}{{{T_n}}})\) trong đó \({T_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\). :
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}....\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}}\). :
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \). :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}$ với \(\left| q \right| < 1\) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\)
D. \(\frac{q}{{{{\left( {1 + q} \right)}^2}}}\)
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{n}{{{n^2} + k}}} \) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số \(B = \lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^6} + n + 1}} - 4\sqrt {{n^4} + 2n - 1} }}{{{{(2n + 3)}^2}}}\) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. \(\frac{{ - 3}}{4}\)
Câu 64. Tính giới hạn của dãy số \(C = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1/4
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + n} \right)\) . :
A. + ∞
B. - ∞
C. \( - \frac{1}{6}\)
D. 1
Câu 66. Cho dãy số \(({x_n})\) xác định bởi \({x_1} = \frac{1}{2},{x_{n + 1}} = x_n^2 + {x_n},{\mkern 1mu} \forall n \ge 1\)
Đặt \({S_n} = \frac{1}{{{x_1} + 1}} + \frac{1}{{{x_2} + 1}} + \cdots + \frac{1}{{{x_n} + 1}}\). Tính \(\lim {S_n}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 67. Cho dãy \(({x_k})\) được xác định như sau: ${x_k} = \frac{1}{{2!}} + \frac{2}{{3!}} + ... + \frac{k}{{(k + 1)!}}$
Tìm \(\lim {u_n}\) với \({u_n} = \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(1 - \frac{1}{{2012!}}\)
D. \(1 + \frac{1}{{2012!}}\)
Câu 68. Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2011\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{u_n^2}}\end{array} \right.\). Tìm \(\lim \frac{{u_n^3}}{n}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 69. Cho dãy \(x > 0\) xác định như sau: \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\). Tìm \(\left( {0; + \infty } \right)\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2010
D. 1
Câu 70. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \({u_n} = \frac{{n.\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)} }}{{2{n^2} + 1}}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Câu 71. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\3m - 2{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. \(\frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}\)
Câu 72. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\2{x^2} + 3m + 1{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 73. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3{\rm{ khi }}x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{ khi }}x < 2\end{array} \right.\) trong đó \(x \ne 1\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Câu 74. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \({u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} \)
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Câu 75. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \({u_n} = \underbrace {\sqrt {2\sqrt {2...\sqrt 2 } } }_{n{\rm{ dau can}}}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Câu 76. Gọi \(g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2\) là dãy số xác định bởi . Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4} + 3} \right) = 3\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 1
Câu 77. Cho dãy số \(A = {\left( {x_1^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}{x_1}{x_2} + x_2^2} \right)^2} + \frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 3 > 0\) được xác định như sau\( \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}\).
Đặt \(x \le \frac{3}{2}\). Tìm \( \Leftrightarrow {x^3} + 2x - 3\sqrt {3 - 2x} - 4 = 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Câu 78. Cho \(a,b \in {\mathbb{N}^ \star },(a,b) = 1;n \in \left\{ {ab + 1,ab + 2,...} \right\}\). Kí hiệu \({r_n}\) là số cặp số \((u,v) \in {\mathbb{N}^ \star } \times {\mathbb{N}^ \star }\) sao cho \(n = au + bv\). Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{1}{{ab}}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{1}{{ab}}\)
D. \(ab - 1\)
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :\(2\sqrt 2 \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{{2 - {u_n}}},\;n \ge 1\end{array} \right.\). Tìm kết quả đúng của \(\lim {u_n}\) .
A.0.
B.1.
C.- 1.
D.1/2
Câu 80. Tìm giá trị đúng của\(S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right)\).
A.\(\sqrt 2 + 1\) .
B. 2.
C. $2\sqrt 2 $.
D.1/2 .
Câu 81. Tính giới hạn:\(\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\)
A.0
B.1.
C.3/2.
D. Không có giới hạn.
Câu 82. Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right]\)
A.1.
B.0.
C.2/3.
D.2.
Câu 83. Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
A. 3/4.
B.1.
C.0.
D.2/3.
Câu 84. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right]$.
A. \(\frac{{11}}{{18}}\).
B. 2.
C. 1.
D. 3/2.
Câu 85. Tính giới hạn: $\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]$.
A. 1.
B. 1/2.
C. 1/4.
D. 3/2.
Câu 86. Giá trị của \(K = \lim n\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right)\) bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
Khi tìm \(\lim \frac{{f( n )}}{{g( n )}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f( n )}} - \sqrt[m]{{g( n )}}} \right]\) trong đó \(\lim f( n ) = \lim g( n ) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b
\end{array}$
Dùng định lí kẹp: Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$,∀ n và lim v$_n$ = 0 thì lim u$_n$ = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
- Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
- Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Vận dụng
Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}$ và \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < \frac{1}{2}\). Chọn giá trị đúng của $\lim {u_n}$ trong các số sau:
A. 1/4.
B. 1/2.
C. 0.
D. 1.
Chọn C
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có \(n \le {2^n},\forall n \in \mathbb{N}\)
Nên ta có : $n \le {2^n} \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}{{.2}^n}}} \le \frac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow \frac{n}{{{4^n}}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$
Suy ra : \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\), mà \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\).
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có \(n \le {2^n},\forall n \in \mathbb{N}\)
Nên ta có : $n \le {2^n} \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{n}{{{2^n}{{.2}^n}}} \le \frac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow \frac{n}{{{4^n}}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$
Suy ra : \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\), mà \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\).
A. 4.
B. 5.
C. –4.
D. 1/4.
Chọn B
$ - \frac{n}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{n}{{{n^2} + 1}}$
Ta có \(\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \lim - \frac{1}{n}.\frac{1}{{1 + 1/{n^2}}} = 0\);\(\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = 0\) \( \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \lim \left( {\frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 0 \Rightarrow \lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 5\).
$ - \frac{n}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{n}{{{n^2} + 1}}$
Ta có \(\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \lim - \frac{1}{n}.\frac{1}{{1 + 1/{n^2}}} = 0\);\(\lim - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = 0\) \( \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \lim \left( {\frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 0 \Rightarrow \lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 5\).
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1
Chọn C
A. + ∞
B. - ∞
C. 4/9
D. 1
Chọn C
A. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
B. - 2/3.
C. - 1/2.
D. 1/2.
Chọn A
\(\lim \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }} = \lim \frac{{\left( { - 1 + 2/n + 1/{n^2}} \right)}}{{\sqrt {3 + 2/{n^2}} }} = \frac{{ - 1 + 0 + 0}}{{\sqrt {3 + 0} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\lim \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }} = \lim \frac{{\left( { - 1 + 2/n + 1/{n^2}} \right)}}{{\sqrt {3 + 2/{n^2}} }} = \frac{{ - 1 + 0 + 0}}{{\sqrt {3 + 0} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 3/4.
D. 0.
Chọn A
$\lim {u_n} = \lim \frac{{3n - {n^4}}}{{4n - 5}} = \lim {n^3}\frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \infty $.
Vì \(\lim {n^3} = + \infty ;\lim \frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \frac{1}{4}\).
$\lim {u_n} = \lim \frac{{3n - {n^4}}}{{4n - 5}} = \lim {n^3}\frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \infty $.
Vì \(\lim {n^3} = + \infty ;\lim \frac{{3/{n^3} - 1}}{{4 - 5/n}} = - \frac{1}{4}\).
A. 5.
B. 2/5.
C. - ∞.
D. + ∞.
Chọn D
\(\lim \frac{{\sqrt {{n^3} - 2n + 5} }}{{3 + 5n}} = \lim \sqrt n .\frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = + \infty \).
Vì \(\lim \sqrt n = + \infty ;\lim \frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = \frac{1}{5}\).
\(\lim \frac{{\sqrt {{n^3} - 2n + 5} }}{{3 + 5n}} = \lim \sqrt n .\frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = + \infty \).
Vì \(\lim \sqrt n = + \infty ;\lim \frac{{\sqrt {\left( {1 - 2/{n^2} + 5/{n^3}} \right)} }}{{3/n + 5}} = \frac{1}{5}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1
Chọn C
Ta có: \(A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
Ta có: \(A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. \(\frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}\)
Chọn D
Ta có: \(B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}\)
Ta có: \(B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 16
D. 1
Chọn C
Ta có: \(C = \lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}} = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}} = 16\)
Ta có: \(C = \lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}} = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}} = 16\)
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\)
D. 1
Chọn C
Ta có: \(D = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
Ta có: \(D = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn C
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được\(C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{\frac{3}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^8}}}}} - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} + \frac{1}{n}}} = 0\).
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được\(C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{\frac{3}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^8}}}}} - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} + \frac{1}{n}}} = 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 8
D. 1
Chọn C
Ta có: \(F = \lim \frac{{{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^7}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}^5}}} = 8\)
Ta có: \(F = \lim \frac{{{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^7}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}^5}}} = 8\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 1
Chọn C
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn C
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn A
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{3}{{\sqrt[3]{3} - 1}}\)
D. 1
Chọn C
A.- ∞.
B.0 .
C.1 .
D.+ ∞.
Chọn B
Ta có: \(\lim {u_n} = \lim \left( {n - 1} \right)\sqrt {\frac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
\( = \lim \sqrt {\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
\( = \lim \sqrt {\frac{{2{n^3} - 2{n^2} - 2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
`
\( = \lim \sqrt {\frac{{\frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^4}}}}}} = 0.\)
Ta có: \(\lim {u_n} = \lim \left( {n - 1} \right)\sqrt {\frac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
\( = \lim \sqrt {\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
\( = \lim \sqrt {\frac{{2{n^3} - 2{n^2} - 2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \)
`
\( = \lim \sqrt {\frac{{\frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^4}}}}}} = 0.\)
A.+ ∞.
B.\(10\).
C.0.
D.- ∞.
Chọn C
Ta có: \(\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = \lim \frac{{10}}{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} }}\)
Nhưng \(\lim \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} = 1\) và \(\lim \frac{{10}}{{{n^2}}} = 0\)
Nên \(\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = 0.\)
Ta có: \(\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = \lim \frac{{10}}{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} }}\)
Nhưng \(\lim \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}} = 1\) và \(\lim \frac{{10}}{{{n^2}}} = 0\)
Nên \(\lim \frac{{10}}{{\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} }} = 0.\)
A.1.
B.0.
C.- 1
D.1/2.
Chọn B
Ta có: \(\lim \frac{{\sqrt {n + 1} - 4}}{{\sqrt {n + 1} + n}} = \lim \frac{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{0}{1} = 0\) .
Ta có: \(\lim \frac{{\sqrt {n + 1} - 4}}{{\sqrt {n + 1} + n}} = \lim \frac{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{0}{1} = 0\) .
A.0.
B.1/3.
C.2/3.
D.1.
Chọn B
Ta có: \(\lim \frac{{1 + 3 + 5 + .... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{1}{{3 + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}.\)
Ta có: \(\lim \frac{{1 + 3 + 5 + .... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{1}{{3 + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}.\)
A. 4.
B. 2.
C. 2.
D. 1/2.
Chọn C
\(\lim \sqrt {3 + \frac{{{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \)\( = \lim \sqrt {3 + \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \)\( = \sqrt {3 + \frac{1}{1} - 0} = 2\)
\(\lim \sqrt {3 + \frac{{{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \)\( = \lim \sqrt {3 + \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \)\( = \sqrt {3 + \frac{1}{1} - 0} = 2\)
bằng:
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Chọn C
Ta xét ba trường hợp sau
k > p. Chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\) ta có:\(D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.\).
\(k = p\). Chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\) ta có:\(D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_k} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_k}}}\).
k < p. Chia cả tử và mẫu cho \({n^p}\) : \(D = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0\).
Ta xét ba trường hợp sau
k > p. Chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\) ta có:\(D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ if }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.\).
\(k = p\). Chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\) ta có:\(D = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_k} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_k}}}\).
k < p. Chia cả tử và mẫu cho \({n^p}\) : \(D = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0\).
A. - 5/2.
B. - 1/50.
C. 5/2.
D. - 25/2.
Chọn B
\(\lim \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}} = \lim \frac{{\frac{2}{{{5^n}}} - \frac{1}{{25}}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 2.}} = \frac{{0 - \frac{1}{{25}}}}{{0 + 2}} = - \frac{1}{{50}}\).
\(\lim \frac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}} = \lim \frac{{\frac{2}{{{5^n}}} - \frac{1}{{25}}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 2.}} = \frac{{0 - \frac{1}{{25}}}}{{0 + 2}} = - \frac{1}{{50}}\).
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.
Chọn C
$\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n} - {{2.2}^n} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n}\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{{4^n}\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}}$
$ = \lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n}\frac{{\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}} = 0$.
$\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n} - {{2.2}^n} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n}\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{{4^n}\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}}$
$ = \lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n}\frac{{\left( {1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{\left( {3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1} \right)}} = 0$.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/3
D. 1
Chọn C
Ta có: \(C = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}} = \lim \frac{{3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}\)
Ta có: \(C = \lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}} = \lim \frac{{3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}\)
A. - ∞.
B. + ∞.
C. 2.
D. - 2.
Chọn B
\(\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty \).
Vì \(\lim {5^n} = + \infty ;\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1\).
\(\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty \).
Vì \(\lim {5^n} = + \infty ;\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1\).
A. - 1/3
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn A
\(K = \lim \frac{{3{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}\)
\(K = \lim \frac{{3{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}} = - \frac{1}{3}\)
A.+ ∞.
B.1 .
C.0
D.- ∞.
Chọn A
Ta có: \(\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}\)
Nhưng $\lim \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 1 > 0$, $\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} = 0$ và ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}$
Nên \(\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = + \infty \).
Ta có: \(\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}\)
Nhưng $\lim \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 1 > 0$, $\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} = 0$ và ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}$
Nên \(\lim \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = + \infty \).
A.0 .
B.1/2.
C.1/4.
D.+ ∞.
Chọn B
Ta có: \(\lim \sqrt[4]{{\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + 2}}}}}}\).$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + {2^{1 - n}}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}}$$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}} = \frac{1}{2}$
Vì \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0;\;\lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} = 0.\)
Ta có: \(\lim \sqrt[4]{{\frac{{{4^n} + {2^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^{n + 2}}}}}}\).$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + {2^{1 - n}}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}}$$ = \lim \sqrt[4]{{\frac{{1 + 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + {4^2}}}}} = \frac{1}{2}$
Vì \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0;\;\lim {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} = 0.\)
A. + ∞
B. 1/2
C. 0
D. 1
Chọn B
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)
D. 1
Chọn C
Ta có \(1,a,{a^2},...,{a^n}\) là một cấp số nhân công bội \(a\)\(1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}\)
Tương tự \(1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}\)
Suy ra lim\(I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)
( Vì \(\left| a \right| < 1,\left| {b < 1} \right|\)\( \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0\)).
Ta có \(1,a,{a^2},...,{a^n}\) là một cấp số nhân công bội \(a\)\(1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}\)
Tương tự \(1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}\)
Suy ra lim\(I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)
( Vì \(\left| a \right| < 1,\left| {b < 1} \right|\)\( \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0\)).
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Chọn C
Ta chia làm các trường hợp sau
TH 1: n = k, chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), ta được\(A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_p}}}\).
TH 2: k > p, chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), ta được\(A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{k - p}}}} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{{{n^{k - p + 1}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.\)
TH 3: k < p, chia cả tử và mẫu cho \({n^p}\), ta được\(A = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{{{n^{p - k + 1}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0\).
Ta chia làm các trường hợp sau
TH 1: n = k, chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), ta được\(A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \frac{{{a_k}}}{{{b_p}}}\).
TH 2: k > p, chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), ta được\(A = \lim \frac{{{a_k} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{\frac{{{b_p}}}{{{n^{k - p}}}} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{{{n^{k - p + 1}}}} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} > 0\\ - \infty {\rm{ khi }}{a_k}{b_p} < 0\end{array} \right.\)
TH 3: k < p, chia cả tử và mẫu cho \({n^p}\), ta được\(A = \lim \frac{{\frac{{{a_k}}}{{{n^{p - k}}}} + \frac{{{a_{k - 1}}}}{{{n^{p - k + 1}}}} + ... + \frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + \frac{{{b_{p - 1}}}}{n} + ... + \frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0\).
A. + ∞.
B. 0.
C. - 2.
D. - ∞.
Chọn C
\(\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - \infty \)
Vì \(\lim {n^3} = + \infty ;\lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2\)
\(\left| {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n}} \right| \le \frac{1}{n};\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2\).
\(\lim \left( {{n^2}\sin \frac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - \infty \)
Vì \(\lim {n^3} = + \infty ;\lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2\)
\(\left| {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n}} \right| \le \frac{1}{n};\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \left( {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn C
\(M = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = 3\)
\(M = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = 3\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Ta có: \(H = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
Ta có: \(H = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn A
Ta có: \(B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} - 1} \right) = + \infty \)
Ta có: \(B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} - 1} \right) = + \infty \)
A. + ∞.
B. - ∞.
C. 0.
D. 1.
Chọn B
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = - \infty \).
Vì \(\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = 1 - \sqrt 3 < 0\).
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = - \infty \).
Vì \(\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 - 1/{n^2}} - \sqrt {3 + 2/{n^2}} } \right) = 1 - \sqrt 3 < 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn C
Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}\)
\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3\)
Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}\)
\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 3
Chọn D
Ta có: \(B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}} = 3\).
Ta có: \(B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}} = 3\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Chọn C
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).
A. - 1/12
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn A
Ta có: \(M = \lim \frac{{1 - {n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{(1 - {n^2} - 8{n^3})}^2}}} - 2n\sqrt[3]{{1 - {n^2} - 8{n^3}}} + 4{n^2}}} = - \frac{1}{{12}}\)
Ta có: \(M = \lim \frac{{1 - {n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{(1 - {n^2} - 8{n^3})}^2}}} - 2n\sqrt[3]{{1 - {n^2} - 8{n^3}}} + 4{n^2}}} = - \frac{1}{{12}}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn C
Ta có: \(N = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) = \lim \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}} = 0\)
\(\lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} - 2n} \right) = \lim \frac{n}{{\sqrt[3]{{{{(8{n^2} + n)}^2}}} + 2n\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} + 4{n^2}}} = 0\)
Vậy \(N = 0\).
Ta có: \(N = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n} \right) = \lim \frac{1}{{\sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}} = 0\)
\(\lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} - 2n} \right) = \lim \frac{n}{{\sqrt[3]{{{{(8{n^2} + n)}^2}}} + 2n\sqrt[3]{{8{n^2} + n}} + 4{n^2}}} = 0\)
Vậy \(N = 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \( - \frac{5}{{12}}\)
D. 1
Chọn C
Ta có: \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \frac{1}{3}\); \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) = \frac{1}{4}\)
Do đó: \(K = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{{12}}\)
Ta có: \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \frac{1}{3}\); \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) = \frac{1}{4}\)
Do đó: \(K = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{{12}}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn D
\(N = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 3{n^2} + 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} + {n^2}}} = 1\)
\(N = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 3{n^2} + 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} + {n^2}}} = 1\)
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. + ∞.
Chọn C
$\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} } \right)} \right] = \lim \left[ {\frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n + 1} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n - 1} }}} \right] = \lim \frac{{2\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + 1/n} + \sqrt {1 - 1/n} } \right)}} = 1$.
$\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} } \right)} \right] = \lim \left[ {\frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n + 1} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n - 1} }}} \right] = \lim \frac{{2\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + 1/n} + \sqrt {1 - 1/n} } \right)}} = 1$.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2/3
D. 1
Chọn C
\(H = \lim n\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right) - \lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) = - \frac{2}{3}\)
\(H = \lim n\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} - 2n} \right) - \lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) = - \frac{2}{3}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn A
Ta có \(A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = + \infty \)
Do \(\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2\).
Ta có \(A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = + \infty \)
Do \(\lim n = + \infty ;\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2\).
A.0.
B.1.
C.+ ∞.
D.- ∞.
Chọn D
Ta có: \(\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = \lim n\sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}\)
Nhưng \(\lim \sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \sqrt[5]{{ - 3}} < 0\) và \(\lim n = + \infty \)
Nên \(\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = - \infty \)
Ta có: \(\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = \lim n\sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}\)
Nhưng \(\lim \sqrt[5]{{\frac{{200}}{{{n^5}}} - 3 + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \sqrt[5]{{ - 3}} < 0\) và \(\lim n = + \infty \)
Nên \(\lim \sqrt[5]{{200 - 3{n^5} + 2{n^2}}} = - \infty \)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn C
\(A = \lim \frac{{2 + \frac{{\sin 2n - 1}}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = 2\)
\(A = \lim \frac{{2 + \frac{{\sin 2n - 1}}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = 2\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn C
Ta có: \(\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} < \frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{{n^n}}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} = \frac{n}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} \to 0 \Rightarrow B = 0\)
Ta có: \(\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} < \frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{{n^n}}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} = \frac{n}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} \to 0 \Rightarrow B = 0\)
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
D. 1
Chọn C
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn B
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn A
A. + ∞
B. - ∞
C. Đáp án khác
D. 1
Chọn C
Xét các trường hợp
TH1: \(k > p \Rightarrow H = - \infty \)
TH 2: \(k < p \Rightarrow H = + \infty \)
TH 3: \(k = p \Rightarrow H = 0\).
Xét các trường hợp
TH1: \(k > p \Rightarrow H = - \infty \)
TH 2: \(k < p \Rightarrow H = + \infty \)
TH 3: \(k = p \Rightarrow H = 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn D
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)
Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)
Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{1}{9}\)
D. 1
Chọn C
Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{3}} \right]^2}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{{3(3{n^3} + n + 2)}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{9}\).
Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{3}} \right]^2}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{{3(3{n^3} + n + 2)}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{9}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Chọn C
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}\).
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2/3
D. 1
Chọn C
Ta có \(\frac{{{k^3} - 1}}{{{k^3} + 1}} = \frac{{(k - 1)({k^2} + k + 1)}}{{(k + 1)[{{(k - 1)}^2} + (k - 1) + 1]}}\)
Suy ra \( \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{3}.\frac{{{n^2} + n + 1}}{{(n - 1)n}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{2}{3}\)
Ta có \(\frac{{{k^3} - 1}}{{{k^3} + 1}} = \frac{{(k - 1)({k^2} + k + 1)}}{{(k + 1)[{{(k - 1)}^2} + (k - 1) + 1]}}\)
Suy ra \( \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{3}.\frac{{{n^2} + n + 1}}{{(n - 1)n}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{2}{3}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn C
Ta có: \({u_n} - \frac{1}{2}{u_n} = \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) - \frac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}{u_n} = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 1}}{{{2^{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {u_n} = 3\).
Ta có: \({u_n} - \frac{1}{2}{u_n} = \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) - \frac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}{u_n} = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 1}}{{{2^{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {u_n} = 3\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\)
D. \(\frac{q}{{{{\left( {1 + q} \right)}^2}}}\)
Chọn C
Ta có: \({u_n} - q{u_n} = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}\)
\( \Rightarrow (1 - q){u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\). Suy ra \(\lim {u_n} = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).
Ta có: \({u_n} - q{u_n} = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}\)
\( \Rightarrow (1 - q){u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\). Suy ra \(\lim {u_n} = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn D
Ta có: \(n\frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le n\frac{n}{{{n^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{ - n}}{{{n^2} + 1}} \le {u_n} - 1 \le \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow \left| {{u_n} - 1} \right| \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \to 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 1\).
Ta có: \(n\frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le n\frac{n}{{{n^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{ - n}}{{{n^2} + 1}} \le {u_n} - 1 \le \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow \left| {{u_n} - 1} \right| \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \to 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 1\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. \(\frac{{ - 3}}{4}\)
Chọn D
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được:
\(B = \lim \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^6}}}}} - 4\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^3}}} - \frac{1}{{{n^4}}}} }}{{{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}^2}}} = \frac{{1 - 4}}{4} = - \frac{3}{4}\).
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được:
\(B = \lim \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^6}}}}} - 4\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^3}}} - \frac{1}{{{n^4}}}} }}{{{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}^2}}} = \frac{{1 - 4}}{4} = - \frac{3}{4}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1/4
Chọn D
Ta có: \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{1}{4}\)
Ta có: \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{1}{4}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. \( - \frac{1}{6}\)
D. 1
Chọn C
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) - 2\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
\(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + {n^2} - 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\)\( = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^4}}} - \frac{1}{{{n^6}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{3}\)
Vậy \(D = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}\).
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) - 2\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
\(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + {n^2} - 1)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\)\( = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^4}}} - \frac{1}{{{n^6}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{3}\)
Vậy \(D = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}\).
Đặt \({S_n} = \frac{1}{{{x_1} + 1}} + \frac{1}{{{x_2} + 1}} + \cdots + \frac{1}{{{x_n} + 1}}\). Tính \(\lim {S_n}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn C
Từ công thức truy hồi ta có: \({x_{n + 1}} > {x_n},{\rm{ }}\forall n = 1,2,...\)
Nên dãy \(({x_n})\) là dãy số tăng.
Giả sử dãy \(({x_n})\) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại \(\lim {x_n} = x\)
Với x là nghiệm của phương trình : \(x = {x^2} + x \Leftrightarrow x = 0 < {x_1}\) vô lí
Do đó dãy \(({x_n})\) không bị chặn, hay \(\lim {x_n} = + \infty \).
Mặt khác: \(\frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \frac{1}{{{x_n}({x_n} + 1)}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_n} + 1}}\)
Suy ra: \(\frac{1}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}}\)
Dẫn tới: \({S_n} = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {S_n} = 2 - \lim \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2\)
Từ công thức truy hồi ta có: \({x_{n + 1}} > {x_n},{\rm{ }}\forall n = 1,2,...\)
Nên dãy \(({x_n})\) là dãy số tăng.
Giả sử dãy \(({x_n})\) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại \(\lim {x_n} = x\)
Với x là nghiệm của phương trình : \(x = {x^2} + x \Leftrightarrow x = 0 < {x_1}\) vô lí
Do đó dãy \(({x_n})\) không bị chặn, hay \(\lim {x_n} = + \infty \).
Mặt khác: \(\frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \frac{1}{{{x_n}({x_n} + 1)}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_n} + 1}}\)
Suy ra: \(\frac{1}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{{x_n}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}}\)
Dẫn tới: \({S_n} = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} \Rightarrow \lim {S_n} = 2 - \lim \frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2\)
Tìm \(\lim {u_n}\) với \({u_n} = \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(1 - \frac{1}{{2012!}}\)
D. \(1 + \frac{1}{{2012!}}\)
Chọn C
Ta có: \(\frac{k}{{(k + 1)!}} = \frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}\) nên \({x_k} = 1 - \frac{1}{{(k + 1)!}}\)
Suy ra \({x_k} - {x_{k + 1}} = \frac{1}{{(k + 2)!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}} < 0 \Rightarrow {x_k} < {x_{k + 1}}\)
Mà: \({x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}}\)
Mặt khác: \(\lim {x_{2011}} = \lim \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\)
Vậy \(\lim {u_n} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\).
Ta có: \(\frac{k}{{(k + 1)!}} = \frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}\) nên \({x_k} = 1 - \frac{1}{{(k + 1)!}}\)
Suy ra \({x_k} - {x_{k + 1}} = \frac{1}{{(k + 2)!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}} < 0 \Rightarrow {x_k} < {x_{k + 1}}\)
Mà: \({x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}}\)
Mặt khác: \(\lim {x_{2011}} = \lim \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\)
Vậy \(\lim {u_n} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn C
Ta thấy \({u_n} > 0,{\rm{ }}\forall n\)
Ta có: \(u_{n + 1}^3 = u_n^3 + 3 + \frac{3}{{u_n^3}} + \frac{1}{{u_n^6}}\) (1)
Suy ra: \(u_n^3 > u_{n - 1}^3 + 3 \Rightarrow u_n^3 > u_0^3 + 3n\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: \(u_{n + 1}^3 < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{u_0^3 + 3n}} + \frac{1}{{{{\left( {u_0^3 + 3n} \right)}^2}}} < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{3n}} + \frac{1}{{9{n^2}}}\)
Do đó: \(u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} + \frac{1}{9}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} \) (3)
Lại có: \(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n} < 2\).\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \le \sqrt n \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} } < \sqrt {2n} \)
Nên: \(u_0^3 + 3n < u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{2}{9} + \frac{{\sqrt {2n} }}{3}\)
Hay \(3 + \frac{{u_0^3}}{n} < \frac{{u_n^3}}{n} < 3 + \frac{{u_0^3}}{n} + \frac{2}{{9n}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt n }}\).
Vậy \(\lim \frac{{u_n^3}}{n} = 3\).
Ta thấy \({u_n} > 0,{\rm{ }}\forall n\)
Ta có: \(u_{n + 1}^3 = u_n^3 + 3 + \frac{3}{{u_n^3}} + \frac{1}{{u_n^6}}\) (1)
Suy ra: \(u_n^3 > u_{n - 1}^3 + 3 \Rightarrow u_n^3 > u_0^3 + 3n\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: \(u_{n + 1}^3 < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{u_0^3 + 3n}} + \frac{1}{{{{\left( {u_0^3 + 3n} \right)}^2}}} < u_n^3 + 3 + \frac{1}{{3n}} + \frac{1}{{9{n^2}}}\)
Do đó: \(u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} + \frac{1}{9}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} \) (3)
Lại có: \(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n} < 2\).\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \le \sqrt n \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} } < \sqrt {2n} \)
Nên: \(u_0^3 + 3n < u_n^3 < u_0^3 + 3n + \frac{2}{9} + \frac{{\sqrt {2n} }}{3}\)
Hay \(3 + \frac{{u_0^3}}{n} < \frac{{u_n^3}}{n} < 3 + \frac{{u_0^3}}{n} + \frac{2}{{9n}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt n }}\).
Vậy \(\lim \frac{{u_n^3}}{n} = 3\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2010
D. 1
Chọn C
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2010}} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}} - {u_n}}}{{{u_{n + 1}}.{u_n}}} = \frac{{{u_n}}}{{2010{u_{n + 1}}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2010.\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\)
Ta có \(\sum {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} = 2010(\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}) = 2010(1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}})\)
Mặt khác ta chứng minh được: \(\lim {u_n} = + \infty \).
Nên \(\lim (\sum {\frac{{{u_u}}}{{{u_{n + 1}}}}} ) = 2010\).
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2010}} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}} - {u_n}}}{{{u_{n + 1}}.{u_n}}} = \frac{{{u_n}}}{{2010{u_{n + 1}}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2010.\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\)
Ta có \(\sum {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} = 2010(\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}) = 2010(1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}})\)
Mặt khác ta chứng minh được: \(\lim {u_n} = + \infty \).
Nên \(\lim (\sum {\frac{{{u_u}}}{{{u_{n + 1}}}}} ) = 2010\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Ta có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\) nên \(\lim {u_n} = \frac{1}{2}\)
Ta có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\) nên \(\lim {u_n} = \frac{1}{2}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. \(\frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}\)
Chọn D
Ta có: \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\) và \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
Nên \(\lim {u_n} = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}\)
Ta có: \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\) và \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
Nên \(\lim {u_n} = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt 2 }}\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn D
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/3
D. 1
Chọn C
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}\)Suy ra \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}\).
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}\)Suy ra \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 3
D. 1
Chọn D
Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }},{\rm{ }}k = 1,2,...,n\)Suy ra \(\frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < {u_n} < \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\)
Mà \(\lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = 1\) nên suy ra \(\lim {u_n} = 1\).
Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }},{\rm{ }}k = 1,2,...,n\)Suy ra \(\frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < {u_n} < \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\)
Mà \(\lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = 1\) nên suy ra \(\lim {u_n} = 1\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 2
D. 1
Chọn C
Ta có: \({u_n} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}}} = {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}\),nên \(\lim {u_n} = \lim {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\).
Ta có: \({u_n} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}}} = {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}\),nên \(\lim {u_n} = \lim {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 1
Chọn C
Ta có \(0 < {u_1} < {u_2} \Rightarrow {u_3} = - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_1}} < - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_2}} = {u_3}\) nên dãy \(({u_n})\)là dãy tăng.
Dễ dàng chứng minh được \({u_n} < \frac{4}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).Từ đó tính được \(\lim {u_n} = \frac{4}{3}\).
Ta có \(0 < {u_1} < {u_2} \Rightarrow {u_3} = - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_1}} < - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}\sqrt {3{u_2}} = {u_3}\) nên dãy \(({u_n})\)là dãy tăng.
Dễ dàng chứng minh được \({u_n} < \frac{4}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).Từ đó tính được \(\lim {u_n} = \frac{4}{3}\).
Đặt \(x \le \frac{3}{2}\). Tìm \( \Leftrightarrow {x^3} + 2x - 3\sqrt {3 - 2x} - 4 = 0\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {(u_n^2 + 3{u_n})(u_n^2 + 3{u_n} + 2) + 1} = \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n} + 1)}^2}} \)
\( = u_n^2 + 3{u_n} + 1\)
Suy ra: \({u_{n + 1}} + 1 = ({u_n} + 1)({u_n} + 2) \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}\)
Suy ra: \(\frac{1}{{{u_n} + 2}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\)
Do đó, suy ra: \({v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{{{u_i} + 1}} - \frac{1}{{{u_{i + 1}} + 1}}} \right)} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\)
Mặt khác, từ \({u_{n + 1}} = u_n^2 + 3{u_n} + 1\) ta suy ra: \({u_{n + 1}} > {3^n}\).
Nên \(\lim \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = 0\). Vậy \(\lim {v_n} = \frac{1}{2}\).
Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {(u_n^2 + 3{u_n})(u_n^2 + 3{u_n} + 2) + 1} = \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n} + 1)}^2}} \)
\( = u_n^2 + 3{u_n} + 1\)
Suy ra: \({u_{n + 1}} + 1 = ({u_n} + 1)({u_n} + 2) \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}\)
Suy ra: \(\frac{1}{{{u_n} + 2}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\)
Do đó, suy ra: \({v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{{{u_i} + 1}} - \frac{1}{{{u_{i + 1}} + 1}}} \right)} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\)
Mặt khác, từ \({u_{n + 1}} = u_n^2 + 3{u_n} + 1\) ta suy ra: \({u_{n + 1}} > {3^n}\).
Nên \(\lim \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = 0\). Vậy \(\lim {v_n} = \frac{1}{2}\).
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{1}{{ab}}\)
D. \(ab - 1\)
Chọn C
Xét phương trình \(\left[ {0;\frac{{n - 1}}{n}} \right]\) (1).
Gọi \(({u_0},{v_0})\) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử \((u,v)\) là một nghiệm nguyên dương khác \(({u_0},{v_0})\) của (1).
Ta có \(a{u_0} + b{v_0} = n,au + bv = n\) suy ra \(a(u - {u_0}) + b(v - {v_0}) = 0\) do đó tồn tại $k$ nguyên dương sao cho \(u = {u_0} + kb,v = {v_0} - ka\). Do v là số nguyên dương nên \({v_0} - ka \ge 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{{v_0} - 1}}{a}\). (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số $k$ nguyên dương cộng với 1. Do đó \({r_n} = \left[ {\frac{{{v_0} - 1}}{a}} \right] + 1 = \left[ {\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a}} \right] + 1\).
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: \(\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} \le {r_n} \le \frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} + 1.\)
Từ đó suy ra : \(\frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} \le \frac{{{r_n}}}{n} \le \frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} + \frac{1}{n}.\)
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{1}{{ab}}\).
Xét phương trình \(\left[ {0;\frac{{n - 1}}{n}} \right]\) (1).
Gọi \(({u_0},{v_0})\) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử \((u,v)\) là một nghiệm nguyên dương khác \(({u_0},{v_0})\) của (1).
Ta có \(a{u_0} + b{v_0} = n,au + bv = n\) suy ra \(a(u - {u_0}) + b(v - {v_0}) = 0\) do đó tồn tại $k$ nguyên dương sao cho \(u = {u_0} + kb,v = {v_0} - ka\). Do v là số nguyên dương nên \({v_0} - ka \ge 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{{v_0} - 1}}{a}\). (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số $k$ nguyên dương cộng với 1. Do đó \({r_n} = \left[ {\frac{{{v_0} - 1}}{a}} \right] + 1 = \left[ {\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a}} \right] + 1\).
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: \(\frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} \le {r_n} \le \frac{n}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{b} - \frac{1}{a} + 1.\)
Từ đó suy ra : \(\frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} \le \frac{{{r_n}}}{n} \le \frac{1}{{ab}} - \frac{{{u_0}}}{{nb}} - \frac{1}{{na}} + \frac{1}{n}.\)
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{1}{{ab}}\).
A.0.
B.1.
C.- 1.
D.1/2
Chọn B
Ta có: \({u_1} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{2}{3};\;{u_3} = \frac{3}{4};\;{u_4} = \frac{4}{5};\;{u_5} = \frac{5}{6}.;...\)
Dự đoán \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó \(\lim {u_n} = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1\).
Ta có: \({u_1} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{2}{3};\;{u_3} = \frac{3}{4};\;{u_4} = \frac{4}{5};\;{u_5} = \frac{5}{6}.;...\)
Dự đoán \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó \(\lim {u_n} = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1\).
A.\(\sqrt 2 + 1\) .
B. 2.
C. $2\sqrt 2 $.
D.1/2 .
Chọn C
Ta có: \(S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right) = \sqrt 2 .\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\sqrt 2 \).
Ta có: \(S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right) = \sqrt 2 .\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\sqrt 2 \).
A.0
B.1.
C.3/2.
D. Không có giới hạn.
Chọn B
Đặt :
\(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) \( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)\( = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\)
\( \Rightarrow \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1\)
Đặt :
\(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) \( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)\( = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\)
\( \Rightarrow \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1\)
A.1.
B.0.
C.2/3.
D.2.
Chọn B
Đặt
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + .... + \frac{2}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow A = \frac{n}{{2n + 1}}\end{array}\)
Nên $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{2n + 1}} = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{2}.$
Đặt
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + .... + \frac{2}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow A = \frac{n}{{2n + 1}}\end{array}\)
Nên $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{2n + 1}} = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{2}.$
A. 3/4.
B.1.
C.0.
D.2/3.
Chọn A
Ta có : \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
\( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)\)\( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{4}.\)
Ta có : \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
\( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)\)\( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{4}.\)
A. \(\frac{{11}}{{18}}\).
B. 2.
C. 1.
D. 3/2.
Chọn A
Cách 1:
$\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right] = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \frac{{11}}{{18}} - \lim \left[ {\frac{{3{n^2} + 12n + 11}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}} \right] = \frac{{11}}{{18}}$.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\sum\limits_1^{100} {\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Cách 1:
$\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right] = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$
$ = \frac{{11}}{{18}} - \lim \left[ {\frac{{3{n^2} + 12n + 11}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}} \right] = \frac{{11}}{{18}}$.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\sum\limits_1^{100} {\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
A. 1.
B. 1/2.
C. 1/4.
D. 3/2.
Chọn B
Cách 1:
$\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}...\frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n + 1}}{n}} \right]$$ = \lim \frac{1}{2}.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{2}$
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\prod\limits_2^{100} {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Cách 1:
$\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}...\frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n + 1}}{n}} \right]$$ = \lim \frac{1}{2}.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{2}$
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\prod\limits_2^{100} {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Sửa lần cuối: