Toán 12 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).
A. \(m=5\)
B. \(m=\frac{23}{27}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=\frac{1}{27}\)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)
\(t = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\)
Do \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow y' = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Miny = y\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}}\)