Toán 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + \frac{{54}}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 0\)
B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 13\)
C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 23\)
D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 21\)

Ta có: \(y' = 2x - 4 - \frac{{54}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^3} - 27} \right]}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) .
\(y' = 0 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5;\,y\left( 5 \right) = 23.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = y\left( 5 \right) = 23\).