Toán 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x\) trên đoạn \(D = \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4}\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4};\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)

\(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x = 2{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + 1\)
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} - 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} - 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \frac{{19}}{{27}}.\)