Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = x + \sin 2x\) trên \((0;\pi )\).

Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = x + \sin 2x\) trên \((0;\pi )\).
A. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
D. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có:
\(y' = (x + \sin 2x)' = 1 + 2\cos 2x \Rightarrow y' = 0\)
\(\Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\).
\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in ),x \in (0;\pi ) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3}\\ x = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\)
Mặt khác \(y'' = - 4\sin 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'{'_{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = - 2\sqrt 3 < 0\\ y'{'_{\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 2\sqrt 3 > 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{\pi }{3}\)
Giá trị cực đại của hàm số bằng \({y{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)