Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao \(SO = a,\,\widehat {SAB} = {45^0}\). Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(R = \frac{{3a}}{4}.\)
B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \(R = \frac{{3a}}{2}.\)
D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Tam giác SAB cân tại S có \(\widehat {SAB} = {45^o} \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại S.
Suy ra \(SA\perp SB\) mà \(\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SAC \Rightarrow SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó \(\frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\) mà \(SA = SB = SC = x \Rightarrow x = a\sqrt 3\)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là \(R = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}} }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)