Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(2;0;0),\,B(0;2;0),\,C(0;0;2),\,D(2;2;2)\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. \(R = 3\)
B. \(R = \sqrt 3\)
C. \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)(*) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Thay \(A(2;0;0),\,B(0;2;0),\,C(0;0;2),\,D(2;2;2)\) vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 4b + d = - 4\\ - 4c + d = - 4\\ - 4a - 4b - 4c + d = - 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 1\\ c = - 1\\ d = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z = 0 \end{array}\)
Vậy: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt 3\)