Tìm bán kính đáy R của hình nón

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a, sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tìm bán kính đáy R của hình nón.
A. \(R = \frac{{8a}}{3}\)
B. \(R = \sqrt 2 a\)
C. \(R = 2\sqrt 2 a\)
D. \(R = \frac{{4a}}{3}\)

Gọi tam giác ABC là thiết diện qua trục của hình nón với A là đỉnh của hình nón, BC là đường kính đáy.
Gọi H là tâm đường tròn đáy, suy ra H là trung điểm của BC.
Gọi \(O_1\) là tâm mặt cầu lớn.
\(O_2\) là tâm mặt cầu nhỏ.
\({D_1},{D_2}\) lần lượt là tiếp điểm của AC với \(O_1\) và \(O_2\).
Ta cần tìm R=HC.
Vì: \(\left\{ \begin{array}{l} {O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}\\ {O_1}{D_1} = 2{O_2}{D_2} \end{array} \right.\)
Nên \(O_2\) là trung điểm của \(A{O_1} \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2.3a = 6a\)
\(AH = A{O_1} + {O_1}H = 8a\)
\(A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = 4a\sqrt 2\)
Ta có: \(\Delta A{O_1}{D_1}\) và \(\Delta ACH\) là hai tam giác đồng dạng nên:
\(\frac{{{O_1}{D_1}}}{{CH}} = \frac{{A{D_1}}}{{AH}} \Rightarrow CH = 2\sqrt 2 a\)