Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\widehat {CAB} = \alpha\) và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\alpha =45^0\)
B. \(\alpha =30^0\)
C. \(\alpha =arctan\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D. \(\alpha =60^0\)

\(\begin{array}{l} \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}} \Rightarrow C{H^2} = AH.HB\\ V = \frac{1}{3}\pi .AH.C{H^2} = \frac{1}{3}\pi .AH.AH.HB \end{array}\)
\(\begin{array}{l} Max(AH.AH.HB) = Max(x.x.(2R - x))\\ \Leftrightarrow Max\frac{{AH}}{2}.\frac{{AH}}{2}.HB = Max\left( {\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2R - x} \right)} \right) \end{array}\)
Tổng ba số bằng 2R, tích 3 số lớn nhất khi:
\(\frac{x}{2} = 2R - x \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 2R \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}R\)
\(\begin{array}{l} AH = \frac{4}{3}R\\ HB = \frac{2}{3}R\\ \Rightarrow C{H^2} = \frac{4}{3}R.\frac{2}{3}R \Rightarrow CH = \frac{{2R\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
\(\tan \alpha = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)