Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right).\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Tọa độ Vectơ, Tọa độ điểm Trong Không Gian |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\). Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right).\)
A. \(4\pi \)
B. \(12\pi \)
C. \(11\pi \)
D. \(3\pi \)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = x - 1}\\{Y = y - 1}\\{Z = z + 1}\end{array}} \right.\). Trong hệ trục tọa độ mới \(A\left( {0;0;0} \right),I\left( {0;0; - 1} \right),\left( S \right):{X^2} + {Y^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4\)
Trong mặt phẳng (AXY) thì \(\left( {{C_1}} \right):{X^2} + {Y^2} = 3 \Rightarrow R_1^2 = 3\)
Trong mặt phẳng (AXZ) thì \(\left( {{C_2}} \right):{X^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow R_2^2 = 4\)
Trong mặt phẳng (AYZ) thì \(\left( {{C_3}} \right):{Y^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow R_3^2 = 4\)
Tổng diện tích của ba hình tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) là: \(S = \pi \left( {R_1^2 + R_2^2 + R_3^2} \right) = \pi \left( {3 + 4 + 4} \right) = 11\pi .\)