Tính thể tích khối nón đã cho

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có \(AB = BC = 10a,AC = 12a\), góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối nón đã cho.
A. \(9\pi {a^3}\)
B. \(12\pi {a^3}\)
C. \(27\pi {a^3}\)
D. \(3\pi {a^3}\)

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Gọi E là trung điểm của AC khi đó \(BE = \sqrt {A{B^2} - A{E^2}} = 8a\).
\(P = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 16a \Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 3\)
Dựng \(IM \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SMI} \right) \Rightarrow \widehat {SMI} = {45^0}\)
Mặt khác \(IM = r = 3a \Rightarrow SI = IM\tan {45^0} = 3a\)
Vậy \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}SI.\pi {r^2} = 9\pi {a^3}.\)