Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có \(AA' = a\sqrt 3 \). Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. Cho biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \(3{a^3}\)
B. \({a^3}\)
C. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\)
D. \(\frac{{{a^3}}}{4}\)

Ta có \(d\left( {I;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = a\sqrt 3 \)
Kẻ \(AP \bot BC\left( {P \in BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AP \Rightarrow AP = a\sqrt 3 \)
Lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C' \Rightarrow A'A \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) đểu
\( \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \frac{{2AP}}{{\sqrt 3 }} = 2a\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = A'A.\frac{1}{2}A{B^2}\sin {60^0} = 3{a^3}\)