Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\).
A. \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)
C. \(\frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
D. \(2\sqrt 3 {a^3}\)

Gọi H là trung điểm cạnh AD khi đó \(SH = a\sqrt 3 \) và \(SH \bot AD\). Mặt khác \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Dựng \(HK \bot BC\) suy ra \(\left( {SKH} \right) \bot BC\)
Do đó \(\left( {\widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SKH} = {30^0}\) .
Khi đó \(HK\tan {30^0} = SH = a\sqrt 3 \Rightarrow HK = 3a = AB\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = 2{a^3}\sqrt 3 .\)