Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp S.ABC có \widehat {ASB} = \widehat {CSB} = {60^0},\widehat {ASC} = {90^0},SA = SB = SC = a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
A. \(d = 2a\sqrt 6\)
B. \(d = a\sqrt 6\)
C. \(d = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\)
D. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Ta có: Tam giác BSC, ASB đều nên \(AB = BC = a,AC = a\sqrt 2\)
Do dó tam giác ABC vuông tại B.
Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm của AC.
Dựng \(HE \bot BC;HF \bot SE\).
Do \(AC = 2HC\) nên \(d\left( {A,(SBC)} \right) = 2d\left( {H,(SBC)} \right) = 2HF = \frac{{HE.SH}}{{\sqrt {H{E^2} + S{H^2}} }}\)
Trong đó \(HE = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \({d_A} = 2HF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)