Tính góc giữa (P) và (Q)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 10\) và có mặt phẳng \(\left( P \right): - 2x + y + \sqrt 5 z + 9 = 0\). Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại \(M\left( {5;0;4} \right)\). Tính góc giữa (P) và (Q).
A. \({45^0}\)
B. \({60^0}\)
C. \({120^0}\)
D. \({30^0}\)

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;4).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;1;0} \right)\)
Mặt phẳng (Q) qua \(M\left( {5;0;4} \right)\) và vuông góc với IM có phương trình là \(3x + y - 15 = 0\)
Suy ra \(\cos \left( {\widehat {\left( P \right);\left( Q \right)}} \right) = \left| {\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} }} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P);(Q)}} \right) = {60^0}.\)