Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
A. \(5\sqrt 2 \)
B. \(10\sqrt 2 \)
C. \(2\sqrt 5 \)
D. \(4\sqrt 5 \)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d là:
\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 3 = 0\)
Gọi H là hình chiếu của A lên (P). Khi đó : \(H = d \cap \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\\{2x + y - z + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{x = - 3}\\{y = 1}\\{z = - 2}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 3;1; - 2} \right)\)
\(R = AH = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \) nên đường kính của mặt cầu là \(10\sqrt 2 \)