Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\). Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.
A. \(S = 2\sqrt 2\)
B. \(S = 2\sqrt 7\)
C. \(S = 4\)
D. \(S = \sqrt{7}\)

Mặt cầu đã cho có tâm O(0;0;0) bán kính \(R = 2\sqrt 2 .\)
Ta có: \(OM = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 1\) nên M nằm trong mặt cầu.
Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi \(OM \bot AB\)
Khi đó: \(AB = 2\sqrt {{R^2} - O{M^2}} = 2\sqrt 7\) và \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OM.AB = \sqrt 7\)
Xem thêm kiến thức căn bản về tính diện tích tam giác