Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Khối Tròn Xoay|
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
A. \(h = \frac{R}{2}\)
B. \(h =R\)
C. \(h =R\sqrt{2}\)
D. \(h =\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Ta có: \({r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}\)
Diện tích xung quanh của trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh\)
Lại có \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} \ge 2\sqrt {{r^2}.\frac{{{h^2}}}{4}} = rh = \frac{{{S_{xq}}}}{{2\pi }} \Rightarrow 2\pi {R^2} \ge {S_{xq}}\)
Do đó \({S_{xq}}\) lớn nhất khi \(r = \frac{h}{2} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{h^2}}}{2} \Rightarrow h = R\sqrt 2\)