Học lớp hướng dẫn giải
\(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right){\log _2}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 2} \right);x \in \left[ {\frac{5}{4};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]\).
Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\)
Ta có \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {4{t^2} + 4t + 4} \right) = 4{t^2} + 20t + 4\)
\( \Leftrightarrow m = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}} = f\left( t \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}};f'\left( t \right) = - \frac{{4({t^2} - 1)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\)
\(f\left( { - 2} \right) = - \frac{5}{3};f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = \frac{7}{3},\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = - 3\)
Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì
\(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
