Toán 12 Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}.\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Tiệm Cận|
Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}.\)
A. \(y = 1\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)
C. \(y = 2\)
D. \(y = 3\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^1} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 + 1}}{1} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 - 1}}{1} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1,y = 3.\)