Toán 12 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 trên \mathbb{R}

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 trên \mathbb{R}
A. M=4
B. M=5
C. \(M=\frac{15}{4}\)
D. \(M=\frac{17}{4}\)

Ta có: \(y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 = - {\sin ^2}x + \sin x + 4\)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) Ta có hàm số: \(g(t) = - {t^2} + t + 4\)
Xét hàm số g(t) trên \([-1;1]\) ta có:
\(\begin{array}{l} g'(t) = - 2t + 1\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} g( - 1) = 2\\ g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\\ g(1) = 4 \end{array}\)
Vậy \(M=\frac{17}{4}\)