Toán 12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên \(\left[ {1;{e^3}} \right].\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên \(\left[ {1;{e^3}} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{4}{{{e^2}}}\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{9}{{{e^2}}}\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{1}{e}\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\), ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln x.\frac{1}{x}.x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}};\forall x \in \left[ {1;{e^3}} \right]\)
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = 0}\\ {\ln x = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = {e^2}} \end{array}} \right.\).
Tính giá trị \(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}};f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} = \frac{4}{{{e^2}}}\).