Toán 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{x}.\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Cho \(1 < x < 64.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{x}.\)
A. 64
B. 96
C. 82
D. 81

\(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)\)
\( = \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\)
Đặt \(t = {\log _2}x\)
Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\)
Xét hàm số \(P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)