Tìm giá trị của m sao cho \(\sin \alpha = \frac{8}{{\sqrt {406} }}.\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + \left( {m + 3} \right)y + \left( {4m - 1} \right)z + 1 = 0.\) Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giá trị của m sao cho \(\sin \alpha = \frac{8}{{\sqrt {406} }}.\)
A. \(m=-1\)
B. \(m=1\)
C. \(m=1\) và \(m=-1\)
D. \(m=2\) và \(m=-2\)

Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {1;3; - 2} \right)}\\ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left( {2;m + 3;4m - 1} \right)} \end{array} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{8}{{\sqrt {406} }} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}} \right. = \frac{{\left| {13 - 5m} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} }}\)\(= \frac{{\left| {13 - 5m} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} }}\)\(\Leftrightarrow 8\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} = \sqrt {29} \left| {13 - 5m} \right|\)
\(\Leftrightarrow 64\left( {17{m^2} - 2m + 14} \right) = 29{\left( {13 - 5m} \right)^2} \Leftrightarrow m = 1.\)