Thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Khối Tròn Xoay|
Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm3. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
B. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy

Xét mô hình hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h.
Ta có: \({V_1} = {a^2}h = 1\) và diện tích xung quanh:
\({S_1} = 2{a^2} + 4ah = 2{a^2} + 2ah + 2ah \ge 3.\sqrt[3]{{2{a^2}.2ah.2ah}} = 6\)
Dấu “=” xảy ra khi a=h.
Xét mô hình hình trụ có bán kính đáy là và chiều cao là .
Ta có \({V_2} = \pi {r^2}h = 1\) và diện tích xung quanh \({S_2} = 2\pi {r^2} + \pi rh + \pi rh \ge 3\sqrt[3]{{2{\pi ^3}{r^4}{h^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi }} < 6\). .
Dấu “=” xảy ra khi h=2r.
Vậy ta sẽ thiết kế bao bì hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy.