Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\) và đường thẳng x=1 khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi (a + b\ln 2)\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tính tích a.b.
A. \(a.b = 3.\)
B. \(a.b = \frac{{ - 4}}{3}.\)
C. \(a.b = \frac{4}{3}.\)
D. \(a.b = - 3.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có:
\( V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 \)
\( = \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi \)
Do đó \(a.b = - 3.\)