Số đo cung của hình quạt bị cắt đi phải là bao nhiêu độ (tính xấp xỉ) để hình nón có dung tích lớn nhất

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Từ một miếng sắt tây hình tròn bán kính R, ta cắt đi một hình quạt và cuộn phần còn lại thành một cái phễu hình nón. Số đo cung của hình quạt bị cắt đi phải là bao nhiêu độ (tính xấp xỉ) để hình nón có dung tích lớn nhất.

A. \({65^0}\)
B. \({90^0}\)
C. \({45^0}\)
D. \({60^0}\)

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi công thức: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\)
Chiều cao của hình nón theo Định lý Pitago là: \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \)
Thể tích của khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}{\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \)
Ta có: \({V^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}.\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}\left( {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right) \le \frac{{4{\pi ^2}}}{9}{\left( {\frac{{\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{R^6}}}{{27}}\)
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi \(\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} \Rightarrow x = \frac{{2\pi R\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }} = \frac{{\frac{{2\pi }}{3}R\sqrt 6 }}{{2\pi }} = \frac{{R\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \sin ISM = \frac{r}{R} = \frac{{\frac{{R\sqrt 6 }}{3}}}{R} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy góc cần tìm là: \(\widehat {ISM} = {65^0}.\)