Cho hai điểm $M\left( {1;0;4} \right)$, $N\left( {1;1;2} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2 = 0.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:
A.\(4x + 2y + z - 8 = 0\) hoặc \(4x - 2y - z + 8 = 0.\)
B. \(2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \(2x - 2y - z + 2 = 0.\)
C. \(2x + 2y + z - 6 = 0.\)
D.\(2x - 2y - z + 2 = 0.\)
A.\(4x + 2y + z - 8 = 0\) hoặc \(4x - 2y - z + 8 = 0.\)
B. \(2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \(2x - 2y - z + 2 = 0.\)
C. \(2x + 2y + z - 6 = 0.\)
D.\(2x - 2y - z + 2 = 0.\)
Ta có mặt cầu (S) có tâm \(I(1; - 1;0)\) và bán kính \(R = 2\), \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;1; - 2} \right)\)
Gọi $\overrightarrow n = \left( {A,B,C} \right)$với ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $\left( P \right)$ qua M, N nên $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {MN} = 0 \Leftrightarrow B - 2C = 0\,\,\left( 1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( {1;0;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {A,B,C} \right)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình
$A\left( {x - 1} \right) + B\left( {y - 0} \right) + C\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + C{\rm{z}} - A - 4C = 0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với (S) $ \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.A - 1.B + 0.C - A - 4C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = 2$
$ \Leftrightarrow \left| {B + 4C} \right| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow {A^2} - 4{C^2} = 0$ (*)
Trong (*), nếu \(C = 0\) thì \(A = 0\), và từ $\left( 1 \right)$ suy ra \(B = 0\) (vô lí). Do vậy $C \ne 0$.
Chọn $C = 1 \Rightarrow A = \pm 2.$
Với \(A = 2,{\rm{ }}C = 1\), ta có \(B = 2\). Khi đó \(\left( P \right):2x + 2y + z - 6 = 0\).
Với \(A = - 2,{\rm{ }}C = 1\), ta có \(B = 2\). Khi đó \(\left( P \right):2x - 2y - z + 2 = 0\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \(\left( P \right):2x - 2y - z + 2 = 0\).
Lựa chọn đáp án B.
Gọi $\overrightarrow n = \left( {A,B,C} \right)$với ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $\left( P \right)$ qua M, N nên $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {MN} = 0 \Leftrightarrow B - 2C = 0\,\,\left( 1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( {1;0;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {A,B,C} \right)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình
$A\left( {x - 1} \right) + B\left( {y - 0} \right) + C\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + C{\rm{z}} - A - 4C = 0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với (S) $ \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.A - 1.B + 0.C - A - 4C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = 2$
$ \Leftrightarrow \left| {B + 4C} \right| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow {A^2} - 4{C^2} = 0$ (*)
Trong (*), nếu \(C = 0\) thì \(A = 0\), và từ $\left( 1 \right)$ suy ra \(B = 0\) (vô lí). Do vậy $C \ne 0$.
Chọn $C = 1 \Rightarrow A = \pm 2.$
Với \(A = 2,{\rm{ }}C = 1\), ta có \(B = 2\). Khi đó \(\left( P \right):2x + 2y + z - 6 = 0\).
Với \(A = - 2,{\rm{ }}C = 1\), ta có \(B = 2\). Khi đó \(\left( P \right):2x - 2y - z + 2 = 0\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \(\left( P \right):2x - 2y - z + 2 = 0\).
Lựa chọn đáp án B.