Cho điểm $A(1;3;2)$, đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $(P):2x - 2y + z - 6 = 0$. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với $(P)$ là:
A.$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.$
B.$(S):{(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 16$ hoặc $(S):{\left( {x - \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
C.$(S):{(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 16$ hoặc $(S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
D.$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.$
A.$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.$
B.$(S):{(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 16$ hoặc $(S):{\left( {x - \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
C.$(S):{(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 16$ hoặc $(S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
D.$(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.$
d có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 4 - t\\z = - 2t\end{array} \right.$
Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên $I\left( { - 1 + 2t;4 - t; - 2t} \right)$
Theo đề bài, (S) có bán kính $R = IA = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.
$ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2t} \right)}^2}} = \frac{{\left| {2\left( { - 1 + 2t} \right) - 2\left( {4 - t} \right) - 2t - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2} - 2t + 9} = \frac{{\left| {4t - 16} \right|}}{3}$$ \Leftrightarrow 9\left( {9{t^2} - 2t + 9} \right) = {\left( {4t - 16} \right)^2} \Leftrightarrow 65{t^2} + 110t - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{{35}}{{13}}\end{array} \right.$.
Với $t = 1 \Rightarrow I\left( {1;3; - 2} \right),R = 4 \Rightarrow (S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.$
Với $t = - \frac{{35}}{{13}} \Rightarrow I\left( { - \frac{{83}}{{13}};\frac{{87}}{{13}};\frac{{70}}{{13}}} \right);R = \frac{{116}}{{13}}$ $ \Rightarrow (S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
Lựa chọn đáp án C.
Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên $I\left( { - 1 + 2t;4 - t; - 2t} \right)$
Theo đề bài, (S) có bán kính $R = IA = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.
$ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2t} \right)}^2}} = \frac{{\left| {2\left( { - 1 + 2t} \right) - 2\left( {4 - t} \right) - 2t - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2} - 2t + 9} = \frac{{\left| {4t - 16} \right|}}{3}$$ \Leftrightarrow 9\left( {9{t^2} - 2t + 9} \right) = {\left( {4t - 16} \right)^2} \Leftrightarrow 65{t^2} + 110t - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{{35}}{{13}}\end{array} \right.$.
Với $t = 1 \Rightarrow I\left( {1;3; - 2} \right),R = 4 \Rightarrow (S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.$
Với $t = - \frac{{35}}{{13}} \Rightarrow I\left( { - \frac{{83}}{{13}};\frac{{87}}{{13}};\frac{{70}}{{13}}} \right);R = \frac{{116}}{{13}}$ $ \Rightarrow (S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.$
Lựa chọn đáp án C.