Cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\)và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\). Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
A.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}.\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}.\)
A.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}.\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}.\)
Đường thẳng$\Delta $đi qua $M = \left( {1;\,1;\, - 2} \right)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;\,2;1} \right)$
Ta có $\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)$
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : $IH = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 $.
Xét tam giác IAB, có $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
Lựa chọn đáp án B.
Ta có $\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)$
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : $IH = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 $.
Xét tam giác IAB, có $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
Lựa chọn đáp án B.