Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 4 = 0\). Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \(\frac{{AB}}{6}\) có tâm thuộc đường thẳng \(AB\) và (S)tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
A. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\) hoặc \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
C. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\) hoặc \({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
A. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\) hoặc \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
C. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\) hoặc \({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{1}{3}.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2; - 2} \right) = - 2\left( {1; - 1;1} \right)\). Bán kính mặt cầu là \(R = \frac{{AB}}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Tâm \(I\) của mặt cầu thuộc đường thẳng \(AB\) nên tọa độ \(I\) có dạng \(I\left( {1 + t; - 2 - t;3 + t} \right)\)
Ta có: (S)tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \,\,d\left( {I;\left( P \right)\,} \right)\, = \,\frac{{AB}}{6} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t + 6} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 5\\t = - 7\end{array} \right..\)
\(t = - 5 \Rightarrow I\left( { - 4;3; - 2} \right)\). Mặt cầu (S) có phương trình là \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\).
\(t = - 7 \Rightarrow I\left( { - 6;5; - 4} \right)\). Mặt cầu (S) có phương trình là \({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{1}{3}\).
Lựa chọn đáp án D.
Tâm \(I\) của mặt cầu thuộc đường thẳng \(AB\) nên tọa độ \(I\) có dạng \(I\left( {1 + t; - 2 - t;3 + t} \right)\)
Ta có: (S)tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \,\,d\left( {I;\left( P \right)\,} \right)\, = \,\frac{{AB}}{6} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t + 6} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 5\\t = - 7\end{array} \right..\)
\(t = - 5 \Rightarrow I\left( { - 4;3; - 2} \right)\). Mặt cầu (S) có phương trình là \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{3}\).
\(t = - 7 \Rightarrow I\left( { - 6;5; - 4} \right)\). Mặt cầu (S) có phương trình là \({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{1}{3}\).
Lựa chọn đáp án D.