Parabol y=\frac{x^2}{2} chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2\sqrt{2}thành hai phần có diện tích là S_1 và S_2 trong đó S_1<S_2.

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Parabol y=\frac{x^2}{2} chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2\sqrt{2}thành hai phần có diện tích là S_1 và S_2 trong đó S_1<S_2. Tìm tỉ số \frac{S_1}{S_2}.
A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{21\pi - 2}}.\)
B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{12\pi }}.\)
D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}}.\)

Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(R = 2\sqrt 2\) là:
\({x^2} + {y^2} = 8.\)
Giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 8\\ y = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 2\\ y = 2 \end{array} \right.\)
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên.
Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} = 2\pi + \frac{4}{3}.\)
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 8\pi .\)
Suy ra \({S_2} = 8\pi - {S_1} = 6\pi - \frac{4}{3}.\)
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\pi + \frac{4}{3}}}{{6\pi - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)