Nguyên hàm sau hệ thống từ công thức căn bản tới nâng cao. Dựa vào nguyên hàm đó, ta có thể giải nhanh nhiều ví dụ khó. Trước tiên ta cần hiểu về lý thuyết căn bản của nguyên hàm trước
Nguyên hàm của f(x) là một hàm F(x) có đạo hàm bằng f(x), nghĩa là, F′(x) = f(x).
4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau:
Định lí: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có:$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)dx} = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C\,\left( 1 \right)$ ở đó F(u) là một nguyên hàm của f(u).
Nhận xét rằng: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng: $\int {f(u)du} $ = F(u) + C. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau:
6. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cơ sở của phương pháp là định lí sau:
Định lí: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì: $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right).v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx} $ hoặc viết $\int {u.dv} = uv - \int {v.du} $.
Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau:
Xem thêm bài tập trắc nghiệm
Nguyên hàm của f(x) là một hàm F(x) có đạo hàm bằng f(x), nghĩa là, F′(x) = f(x).
- Kí hiệu: $\int {f(x)dx} $
- Vậy ta viết: $\int {f(x)dx} $ = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x)
- $\int {f'(x)} dx = f(x) + C$
- $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx$
- $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $ với k ≠ 0
- Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
- Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.
4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau:
Định lí: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có:$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)dx} = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C\,\left( 1 \right)$ ở đó F(u) là một nguyên hàm của f(u).
Nhận xét rằng: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng: $\int {f(u)du} $ = F(u) + C. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = φ(u) (nếu có thể).
- Bước 2: Xác định vi phân dx = φ’(u)du.
- Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du.
- Bước 4: Khi đó: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {g\left( u \right)du} $
DẤU HIỆU | CÓ THỂ CHỌN |
Hàm có mẫu số | u là mẫu số |
Hàm f(x, $\sqrt {\varphi (x)} $) | u = φ(x) hoặc u = $\sqrt {\varphi (x)} $ |
Hàm f(x) =\(\frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}\) | ⇒Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt: u = $\sqrt {x + a} $ + $\sqrt {x + b} $ ⇒ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt: u = $\sqrt { - x - a} $ + $\sqrt { - x - b} $ |
Hàm f(x)=\(\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x + e}}\) | u = tan$\frac{x}{2}$ (với cos$\frac{x}{2}$ ≠ 0) |
6. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cơ sở của phương pháp là định lí sau:
Định lí: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì: $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right).v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx} $ hoặc viết $\int {u.dv} = uv - \int {v.du} $.
Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Biến đổi: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right)dx} $.
- Bước 2: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {f_1}(x)\\ dv = {f_2}(x)dx \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} du\\ v \end{array} \right.$
- Bước 3: Khi đó: $\int {f\left( x \right)} dx = uv - \int v du$.
- a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
- b. Tích phân bất định $\int {vdu} $ được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu.
Xem thêm bài tập trắc nghiệm
Sửa lần cuối: