Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông.

Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

A. \(\frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}(m)\)
B. \(\frac{{36\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
C. \(\frac{{12}}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
D. \(\frac{{18\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)

Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{6 - 3x}}{4}\)
Tổng diện tích khi đó là:
\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right)\)
Xét hàm số:
\(f(x) = \left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36,\,\,x \in \left( {0;6} \right)\)
\(f'(x) = 2(9 + 4\sqrt 3 )x - 36\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Diện tích nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Lập bảng biến thiên ta có điều này xảy ra khi:
\(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Vậy diện tích Min khi \(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).