Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\). Tính thể tích V của khối chóp đó.
A. \(V = \frac{{{a^2}\tan \alpha }}{{12}}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\cot \alpha }}{{12}}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\cot \alpha }}{{12}}\)

Hình chóp tam giác đều ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a.
Góc giữa AB với đáy là \(\alpha\)
Gọi O là tâm của đáy, H là trung điểm của CD.
Ta có: \(\widehat {ABO} = \alpha\)
\(\begin{array}{l} BH = BC.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ {S_{BCD}} = \frac{1}{2}BH.CD = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ BO = \frac{2}{3}BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ AO = BO.\tan \alpha = \frac{{a\sqrt 3 .\tan \alpha }}{3}\\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AO.{S_{BCD}} = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}} \end{array}\)