Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\). Tính thể tích V cuả khối chóp đó.
A. \(V = \frac{3}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha\)
B. \(V = \frac{3}{4}{b^3}\cos \alpha si{n^2}\alpha\)
C. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}\cos \alpha sin\alpha\)
D. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha\)

Hình chóp tam giác đều ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a.
Góc giữa AB với đáy là \(\alpha\)
Gọi O là tâm của đáy, H là trung điểm của CD.
Ta có:
\(\begin{array}{l} AO = AB.\sin \alpha = b\sin \alpha \\ BO = AB.\cos \alpha = b\cos \alpha \\ BH = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2}b\cos \alpha \\ BC = \frac{{BH}}{{\sin {{60}^0}}} = b\cos \alpha \sqrt 3 \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CD.BH = \frac{1}{2}BC.BH = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{2}AO.{S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \end{array}\)