. Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 3 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên

.
Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 3 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời, hỏi xác suất thí sinh có được điểm nào là cao nhất? Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm.
C. điểm 3.
B. điểm 4.
C. điểm 5.
D. điểm 6.

Đáp án D.
Phân tích: Với một bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất như thế này thì cách mà ta nghĩ đến đầu tiên là đặt ẩn (là số điểm) rồi sau đó tính biểu thức cần tính (xác suất đạt được số điểm) rồi sau đó tính biểu thức cần tính (xác suất đạt được số điểm) theo ẩn đó, việc còn lại là xử lí biểu thức.
Lời giải: Gọi $x$ là số điểm bạn đó đạt được ($0\le x\le 10$)($x\in \mathbb{N}$ )
$\Rightarrow $ Bạn đó trả lời đúng $x$ câu và trả lời sai $10-x$ câu.
+) Xác suất mỗi câu bạn đó đúng là: $\dfrac{1}{3}$; sai là $\dfrac{2}{3}$.
+) Có $C_{10}^{x}$ cách chọn ra $x$ câu đúng. Do đó xác suất được $x$ điểm là:
$P(x)=C_{10}^{x}.{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{10-x}}=\dfrac{10!}{{{3}^{10}}}.\dfrac{{{2}^{10-x}}}{x!(10-x)!}$
Do $P(x)$ là lớn nhất nên
$\left\{ \begin{align}
& P(x)\ge P(x+1) \\
& P(x)\ge P(x-1) \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \dfrac{10!}{{{3}^{10}}}.\dfrac{{{2}^{10-x}}}{x!(10-x)!}\ge \dfrac{10!}{{{3}^{10}}}.\dfrac{{{2}^{9-x}}}{\left( x+1 \right)!(9-x)!} \\
& \dfrac{10!}{{{3}^{10}}}.\dfrac{{{2}^{10-x}}}{x!(10-x)!}\ge \dfrac{10!}{{{3}^{10}}}.\dfrac{{{2}^{11-x}}}{\left( x-1 \right)!(11-x)!} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \dfrac{x+1}{10-x}\ge \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2(x+1)\ge 10-x\Leftrightarrow x\ge \dfrac{8}{3} \\
& \dfrac{x}{11-x}\le \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x\le 11-x\Leftrightarrow x\le \dfrac{11}{3} \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}\le x\le \dfrac{11}{3}$. Mà $x\in \mathbb{N}$ nên $x=3$
Nên xác suất bạ đó đạt $3$ điểm là lớn nhất.