Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao \(B{\rm{D}} = 6m,\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao \(B{\rm{D}} = 6m,\) chiều dài \(C{\rm{D}} = 12m\) (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có \(MN = 4m,\) cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng.
B. 20.600.000 đồng.
C. 20.800.000 đồng.
D. 21.200.000 đồng.

Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ \( \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right),\,\,N\left( {2;0} \right).\)
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Tọa độ đỉnh Parabol: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 6\\36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{6}\\c = 6\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) là \(\left( P \right):y = 6 - \frac{1}{6}{x^2}.\)
Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right) = 6 - \frac{1}{6}{x^2}\) và \(x = - 2,\,\,x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Vậy số tiền công ty X cần có để làm bức tranh là: \(T = \frac{{208}}{9} \times 900.000 = 20.800.000\) đồng.