Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ.

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi \(2,90\,c{m^3}/\)phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \,cm\)(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 8cm
B. 12cm
C. 9cm
D. 10cm

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là \({S_t} = \pi {R^2} = \pi {x^2}\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình paralol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\)
Vì (P) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {4;4} \right),\,\,B\left( {4; - 4} \right)\)
Nên phương trình \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} = 4y \Rightarrow S = 4\pi y\)
\( \Rightarrow \) Thể tích cát ban đầu là \(V = \int\limits_0^h {{S_t}\,dy} \) vì mặt cắt vuông góc với Oy.
Suy ra \(V = \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} \) mà thể tích khối cát \({V_c} = 2,9.30 = 87\,c{m^3}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} = 87 \Leftrightarrow 2\pi {y^2}\left| {\mathop {}\limits_0^h = 87 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 87 \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} } \right.\)
Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.\sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} \approx 9,92\,cm.\)