Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình \(\left( P \right)\)\(x + 2y + 2z - 1 = 0\)\(\left( Q \right):x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 5\).Mặt phẳng (α) vuông với mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
A. 2x + y - 1 = 0;2x + y + 9 = 0.
B. 2x - y - 1 = 0;2x - y + 9 = 0.
C. x - 2y + 1 = 0; x - 2y - 9 = 0
D. 2x - y + 1 = 0;2x - y - 9 = 0.
A. 2x + y - 1 = 0;2x + y + 9 = 0.
B. 2x - y - 1 = 0;2x - y + 9 = 0.
C. x - 2y + 1 = 0; x - 2y - 9 = 0
D. 2x - y + 1 = 0;2x - y - 9 = 0.
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 5\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \)
Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
Ta có : \({\overrightarrow n _\alpha } = \overrightarrow {{n_P}} \wedge {\overrightarrow n _Q} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 6;3;0} \right) = - 3\left( {2; - 1;0} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}} \)
Lúc đó mặt phẳng (α) có dạng :\(2x - y + m = 0\).
Do mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S)\( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 9}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (α) :\(2x - y + 1 = 0\)hoặc \(2x - y - 9 = 0\).
Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
Ta có : \({\overrightarrow n _\alpha } = \overrightarrow {{n_P}} \wedge {\overrightarrow n _Q} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 6;3;0} \right) = - 3\left( {2; - 1;0} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}} \)
Lúc đó mặt phẳng (α) có dạng :\(2x - y + m = 0\).
Do mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S)\( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 9}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (α) :\(2x - y + 1 = 0\)hoặc \(2x - y - 9 = 0\).