Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\).
Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr \sin 0 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr x = \pi \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr} \right.\)
Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {x.\sin x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {x.\sin x\,{\rm{d}}x} \) (\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x\sin x > 0\)).
Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr v = - \,\cos x \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \,\,S = - \,\left. {x.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {\cos x\,{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\sin x - x.\cos x} \right)} \right|_0^\pi = \pi \)
Vậy \(S = \pi \, \Rightarrow \,\,\cos 2S = \cos 2\pi = 1.\)
Chọn D.
