Toán 12 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Phân Thức|
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\).
A. Hàm số đồng biến trên \((1;+\infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\)
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-1)\)

Vì hàm phân thức \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) không có cực trị ⇒ Loại C
Ta có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) ⇒ Loại A, D
B sai vì hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\). Thật vậy:
Với \({x_1} = - 2 \Rightarrow y( - 2) = 5\)
Với \({x_2} = 1 \Rightarrow y(1) = \frac{1}{2}\)
Ta thấy tồn tại \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \backslash \left\{ { - 1} \right\}:{x_1}<{x_2}\) mà \(y({x_1})> y({x_2})\)
Nên hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\)