Toán 12 Hỏi điểm S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí C theo đường gấp khúc ASC(S là một vị trí trên đất liền) như hình vẽ. Biết BC=1 km, AB= 4 km, 1km dây điện đặt dưới nước có giá 5000 USD, 1 km dây điện đặt dưới đất có giá 3000 USD. Hỏi điểm S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

A. \(\frac{{15}}{4}km\)
B. \(\frac{{13}}{4}km\)
C. \(\frac{{10}}{4}km\)
D. \(\frac{{19}}{4}km\)

Gọi SA=x, ta có: BS=4-x.
Suy ra:\(SC = \sqrt {B{S^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + {1^2}}\)
Số tiền cần để mắc là:\(5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x\) (nghìn USD)
Xét hàm số: \(f(x) = 5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x,0 < x < 4\)
Ta có: \(f'(x) = 5.\frac{{\left[ {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + 1} \right]'}}{{2\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3 = \frac{{5(x - 4)}}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3\)
\(f'(x) = \frac{{5(x - 4) + 3\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\)
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{13}}{4}\)