Học lớp hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cot x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\cot x} \right)}^2} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x}\end{array} = {4^t}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 = 0\)
Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4} > 0\) suy ra có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy \(f\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = - 1\) là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) (do đk (1))
Ta có: \(0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017 \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\).
Do k nguyên nên có 1009 giá trị của k thỏa yêu cầu.
