Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính ...

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right)?\)
A. 0
B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - {x^2} - 4x - 3} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} - 2{x^2} - 3x} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 3}^{ - 1} = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}} \right..\)
Suy ra \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)