Toán 12 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(M + m = \frac{8}{3}\)
B. \(M + m = \frac{4}{3}\)
C. \(M + m = \frac{7}{2}\)
D. \(M + m = \frac{16}{3}\)

Ta có
\(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};y' = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 3 \notin \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]} \end{array}} \right.\)
Tính giá trị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 1} \right) = - \frac{2}{3}}\\ {f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{3}{2}}\\ {y\left( 3 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - \frac{2}{3}}\\ {M = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = \frac{{16}}{3}.\)