Toán 12 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = {e^x}(x - 1) - {x^2} trên đoạn \left[ {0;2} \right]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(M + m = {e^2} - 6\)
B. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4\)
C. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 8\)
D. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6\)

TXĐ: D = R
\(\begin{array}{l} y' = {e^x}(x - 1) + {e^x} - 2x = ({e^x} - 2)x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow y(\ln 2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2\\ x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \end{array} \right.\\ y(2) = {e^2} - 4 \end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(2) = {e^2} - 4 = M\\ \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(ln2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2 = m\\ \Rightarrow M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6 \end{array}\)