Toán 12 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} .\) Tính M+m.
A. \(M + m = 16\)
B. \(M + m = \frac{{12 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\)
C. \(M + m = \frac{{16 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\)
D. \(M + m = 18\)

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \ge 0}\\ {5 - x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 5 \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\)
Khi đó \(y' = \left( {3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} } \right)' = \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{61}}{{25}}\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 \right) = 8}\\ {y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {M = \max y = y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {m = Miny = y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = 16.\)